Zustellung einer notariellen Kostenrechnung in die Schweiz

Hallo zusammen,
ich brauche mal etwas Hilfe.

Ich habe hier eine notarielle Kostenrechnung, die vom Gerichtsvollzieher an die Schuldnerseite in die Schweiz zugestellt werden soll. Dieser hat das gem. § 10 II GVGA dem AG als vorgesetzte Dienststelle vorgelegt und nun darf ich mich darum kümmern.
Meine Kollegin hat dann die Zustellung nach dem Länderteil der ZRHO (HZÜ) vorbereitet und nun mit folgender Antwort vom Landgericht zurück bekommen:
Die Kostenrechnung sei nach dortiger Auffassung als öffentlich-rechtliche Forderung zu qualifizieren (GNotGK-Kommentar "Streifzug durch das GNotKG", 10. Auflage, S. 51, RN 234ff.) und würde mithin nicht unter die Bestimmungen des HZÜ für Zivil- und Handelssachen fallen, also wären sie nicht zuständig und würden im Zweifel einen ablehnenden Beschluss erlassen.
Das mag ja alles sein, aber nun weiß ich leider immer noch nicht, wie ich die Zustellung geregelt bekomme... Habe da auch telefonisch mal nachgefragt, da konnte man mir aber nicht weiter helfen.

Habe irgendwo schon gelesen, der Notar müsse im Zweifel klagen. Damit hätte er dann ja einen Titel, den man nach zivilrechtlichen Vereinbarungen in die Schweiz zustellen kann, oder?! Aber ich finde, das ist so wenig sinnvoll, da er grundsätzlich selbst dazu befugt ist, sich einen Titel auszustellen.
Auf der Seite des AG Warendorf habe ich auch schon gelesen und für die Vollstreckung aus der Urkunde was vom Exequaturverfahren gefunden. Ich bleibe aber trotzdem an der Stelle hängen, dass ich vorher irgendwie eine Zustellung brauche.

Hat da jemand eine Idee, wie man das praktisch macht? Das wäre super, denn ich bin etwas ratlos.

Der inl. Gerichtsvollzieher könnte nach den inländischen Verfahrensvorschriften die notarielle Urkunde im Parteibetrieb an die Schuldnerpartei zustellen.
Da die Schuldnerpartei jedoch in der Schweiz wohnhaft ist, könnte allenfalls die Gläubigerpartei den zuständigen Gerichtsvollzieher in der Schweiz mit der Zustellung beauftagen.

Für die Zustellung gilt im Verhältnis zu der Schweiz das Haager Zustellungsübereinkommen (HZÜ).
Nach dem Länderteil der ZRHO hat jedoch die Schweiz der unmittelbaren Parteizustellung i. S. Art. 10 HZÜ widersprochen.
Die deutsche notarielle Urkunde kann daher nicht im Parteibetrieb in der Schweiz zugestellt werden.

Die Zustellung wird daher vom inl. Amtsgericht mit dem Zustellungsantrag an das zuständige schweizerische Gericht veranlasst.
Zuständig ist das Amtsgericht am Sitz des beurkundenden Notars.

Ich würde die Mitteilung des LGs und die not.KR an den Notar zurückschicken. M.E.muss er sich überlegen, wie er seine Forderung durchsetzt. Das LG als Prüfstelle hat die Weiterleitung zurecht abgelehnt, dies deshalb, weil der Notar die KR einseitig -ohne streitiges Verfahren und ohne Beteiligung des Kostenschuldners - erstellt hat.

Vielen Dank schon mal für die Antworten.
Ich warte jetzt noch auf eine Antwort in der Sache und derzeit tendiere ich auch dazu, das dem Notar zurück zu senden. Müsste bzw. dürfte er denn seine Forderung einklagen? Ich hatte da etwas Bedenken, da er ja bereits einen Titel hat.