Ich würde mich jedenfalls nicht mit dem aktualisiertem Datum zufrieden geben.
Beispiel: Einsicht früh am 03.01. Am selben Nachmittag wird ein weiterer Antrag vollzogen. Am 10.01. wird beurkundet. Da das Datum sich nicht geändert hat, wird nicht nochmal Einsicht genommen, ganz schlecht
Man kann auch alles übertreiben. In der Zeit vor dem elektronischen Grundbuch hat auch niemand verlangt, das der Notar von der Grundbucheinsicht unmittelbar zum Beurkundungstermin spurtet und noch eine Angestellte zurücklässt, die aufpasst, dass niemand noch schnell einen Antrag stellt, der möglicherweise 5 Minuten später zu einer Eintragung führt:D.
Schließlich werden Gelder in der Regel erst ausgezahlt, wenn der eigene Antrag rangrichtig erledigt wurde oder die ranggerechte Erledigung sichergestellt ist. D.h. nach der Antragstellung muss man ohnehin noch einmal in die Akte schauen.