Übergang § 59 RVG - obsiegende Partei hat PKH

Guten Morgen!

Die SE hat mir die Akte vorgelegt mdB um Überprüfung, ob Weiteres zu veranlassen ist.

Sachverhalt: Der Kläger hat PKH bewilligt bekommen und es ist ein VU ergangen. Demnach hat der Beklagte die Kosten zu tragen.
Der PKH-Anwalt macht seine Gebühren gegen die Staatskasse geltend, die er auch ausgezahlt bekam. Einen Antrag nach § 126 ZPO stellt er nicht.

Nun sind doch die Ansprüche, die aus der Staatskasse gezahlt wurden, nach § 59 RVG auf die Staatskasse übergegangen und vom Beklagten zu erstatten. Oder mache ich einen Denkfehler?
Dementsprechend wäre dies doch von uns anzufordern. Hierüber ist aber kein Beschluss zu fertigen, oder? Ist nicht das rechtskräftige VU der Vollstreckungstitel?

VG

Zitat von DKB

Die SE erwartet offenbar eine Einziehungsverfügung über den übergegangenen Betrag. Bei einem voll erstattungspflichtigen Gegner muss ( oder sollte ) das der Kostenbeamte aber selber erkennen.

Ich glaube, deswegen war ich auch so stutzig.

Danke für die Antworten!